看新聞學數學 ─ 張益唐的髮絲步 撞破數學質數牆

新科中研院士》張益唐的髮絲步 撞破數學質數牆

從古希臘數學家歐基里德證明質數在自然數中有無窮多個(質數是指因數只有一和本身的正整數,如1、3、5、7、11等)起,隨著數字越來越大,兩個相鄰質數的差距也越來越大,在數列中也越來越稀疏。

百年來,數學家猜測,在無限大的兩個相鄰質數,其差距應該是有限的,但一直無法證明。

張益唐去年發表的一篇「Bounded gaps between primes」〈質數間的有限差距〉論文,證明了不管多大的相鄰質數,兩者的差距一定小於七千萬。這篇論文刊登在全球最具權威的數學期刊「數學年刊(Annals of Mathematics)」上,且短短三週內就被接受(平常約需兩年),打破該期刊紀錄,也轟動了數學界,聲名大噪。

 

上面的文章中,讀者可以挑出幾個錯誤呢?

 

 

1不是質數

基本上,只要是是具有國中一年級以上的程度,應該都可以挑出這第一個錯誤。

質數的定義是:大於1的整數中,只有1和自己兩個因數者。

這樣的定義是為了「質因數分解的唯一性」。也就是說,只要不把1定義為質數,那麼任何大於1的正整數,質因數分解的結果就只有一種。

總之,1不是質數,這是數學課中會不斷強調的一個重點,也是考題中很喜歡測驗的觀念。這第一個錯誤實在太糟糕。

 

孿生質數

第二個錯誤出現在這段:「張益唐去年發表的一篇「Bounded gaps between primes」〈質數間的有限差距〉論文,證明了不管多大的相鄰質數,兩者的差距一定小於七千萬」。

先看看兩個觀念。

隨著位數增加,質數的分佈也就越稀疏。100以下的正整數中,平均每4個數就有一個質數;10的20次方下的正整數中,平均每45個數中才有一個質數。(參考:質數定理)

目前最大的質數超過1700萬位,也就是說,想寫下這個數字,你必須寫下超過1700萬個阿拉伯數字。

綜合這兩個觀念,應該可以想像,兩個相鄰質數間的差距,是可以任意大的。也就是,會大於七千萬。

事實上,張益唐教授證明的是:「有無限多對的相鄰質數,其差小於七千萬」。

 

這個證明有什麼用呢?

這個證明,讓我們朝「孿生質數猜想」前進了一大步。

所謂孿生質數,就是兩個質數的差為2,例如:11和13、17和19。

而孿生質數猜想,就是「存在無限多對的孿生質數」。

只要依著張教授的證明,讓「七千萬」一步步下降,最後就可以變成「有無限多對的相鄰質數,其差等於2」,那麼就證明了孿生質數猜想了。

也就是說,這個證明,給出了一個明確的方向,並且把原本無限的問題轉變為有限的問題,事實上,現在這個數字已經下降到「246」,離目標已經越來越近了。

 

第二個錯誤雖然比較需要專業知識,但是卻也是文章的核心內容之一,實在也不該犯下。

 

除了找出新聞的錯誤外,也藉此簡單介紹一下張益唐教授的貢獻。有興趣的讀者可以參考下方的系列報導,做進一步的了解。

張益唐-半生磨劍,一舉揚名天下知的數學家 (序)(二)(完)

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